用算幾不等式求$\frac{13a+13b+2c}{2a+2b}+\cdots$最大最小值

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  • #2707
    Peter SuPeter Su
    管理員

    令$a,b,c$為正實數且$k$為$\frac{13a+13b+2c}{2a+2b}+\frac{24a-b+13c}{2b+2c}+\frac{-a+24b+13c}{2c+2a}$的最小值,試回答下列問題:
    (1)試求$k$.
    (2)若最小值發生於$(a,b,c)=(a_0,b_0,c_0)$時,試求$\frac{b_0}{a_0}+\frac{c_0}{b_0}$.[See the full post at: 用算幾不等式求最大最小值]

    #2708
    Peter SuPeter Su
    管理員

    令$\begin{cases}a+b=x\\b+c=y\\c+a=z\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2a=x+z-y\\2b=x+y-z\\2c=y+z-x\end{cases}$
    原式$=\frac{1}{2}(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{5x}{y}+\frac{19z}{y}+\frac{5x}{z}+\frac{19y}{z})\\
    \ge19+2\sqrt{5}\cdots(\mathrm{by}算幾不等式)$

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