108指考

108-指考-數學甲-13

設$f(x)$為實係數多項式函數,且$xf(x)=3{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+\int_{1}^{x}{f(t)}\ dt$對$x\ge 1$恆成立。試回答下列問題。
(1) 試求$f(1)$。(2分)
(2) 試求${f}'(x)$。(4分)
(3) 試求$f(x)$。(2分)
(4) 試證明恰有一個大於1的正實數$a$滿足$\int_{0}^{a}{f(x)}\ dx=1$。(4分)

108-指考-數學甲-12

坐標空間中以$O$表示原點,給定兩向量$\overset{\rightharpoonup}{OA}=(1,\sqrt{2},1)$、$\overset{\rightharpoonup}{OB}=(2,0,0)$。試回答下列問題。
(1) 若$\overset{\rightharpoonup}{OP}$是長度為2的向量,且與$\overset{\rightharpoonup}{OA}$之夾角為$60{}^\circ $,試求向量$\overset{\rightharpoonup}{OA}$與$\overset{\rightharpoonup}{OP}$的內積。(2分)
(2) 承(1),已知滿足此條件的所有點$P$均落在一平面$E$上,試求平面$E$的方程式。(2分)
(3) 若$\overset{\rightharpoonup}{OQ}$是長度為$2$的向量,分別與$\overset{\rightharpoonup}{OA}$、$\overset{\rightharpoonup}{OB}$之夾角皆為$60{}^\circ $,已知滿足此條件的所有點$Q$均落在一直線$L$上,試求直線$L$的方向向量。(4分)
(4) 承(3),試求出滿足條件的所有$Q$點之坐標。(4分)