108-指考-數學甲-13

設$f(x)$為實係數多項式函數,且$xf(x)=3{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+\int_{1}^{x}{f(t)}\ dt$對$x\ge 1$恆成立。試回答下列問題。
(1) 試求$f(1)$。(2分)
(2) 試求${f}'(x)$。(4分)
(3) 試求$f(x)$。(2分)
(4) 試證明恰有一個大於1的正實數$a$滿足$\int_{0}^{a}{f(x)}\ dx=1$。(4分)


類型:非選  難度:適中

答案
%%(1) 2 (2) [12{{x}^{2}}-6x+2] (3) [4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x-1] (4) 略%%

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    綜合除法\polyhornerscheme[x=1]{x^3+x^2-1}
    $\polyhornerscheme[x=1]{x^3+x^2-1}$
    更改變數為n\polyset{vars=n}
    \polylongdiv{n^3-1}{n-1}
    $
    \polyset{vars=n}
    \polylongdiv{n^3-1}{n-1}
    $

    記得在WP QuickLaTex 的Advanced 中加入usepackage polynom的敘述,圖片如下

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    (1) 若甲朝負向移動而乙朝正向移動,則他們會相遇
    (2) 若甲朝負向移動且乙朝負向移動,則他們不會相遇
    (3) 若甲朝正向移動而乙朝負向移動,則乙先到達原點$0$
    (4) 若甲朝正向移動且乙朝正向移動,則他們之間的距離會越來越大
    (5) 若甲朝正向移動而乙朝負向移動,且他們在點$-2$相遇,則$a=2$
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    (1) $-{{f}_{1}}(x)$除以$g(x)$的餘式為$-{{r}_{1}}(x)$
    (2) ${{f}_{1}}(x)+{{f}_{2}}(x)$除以$g(x)$的餘式為${{r}_{1}}(x)+{{r}_{2}}(x)$
    (3) ${{f}_{1}}(x){{f}_{2}}(x)$除以$g(x)$的餘式為${{r}_{1}}(x){{r}_{2}}(x)$
    (4) ${{f}_{1}}(x)$除以$-3g(x)$的餘式為$\frac{-1}{3}{{r}_{1}}(x)$
    (5) ${{f}_{1}}(x){{r}_{2}}(x)-{{f}_{2}}(x){{r}_{1}}(x)$可被$g(x)$整除
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    設$f(x)$為實係數多項式函數,且$xf(x)=3{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+\int_{1}^{x}{f(t)}\ dt$對$x\ge 1$恆成立。試回答下列問題。 (1) 試求$f(1)$。(2分) (2) 試求${f}'(x)$。(4分) (3) 試求$f(
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