108-指考-數學甲-12

坐標空間中以$O$表示原點,給定兩向量$\overset{\rightharpoonup}{OA}=(1,\sqrt{2},1)$、$\overset{\rightharpoonup}{OB}=(2,0,0)$。試回答下列問題。
(1) 若$\overset{\rightharpoonup}{OP}$是長度為2的向量,且與$\overset{\rightharpoonup}{OA}$之夾角為$60{}^\circ $,試求向量$\overset{\rightharpoonup}{OA}$與$\overset{\rightharpoonup}{OP}$的內積。(2分)
(2) 承(1),已知滿足此條件的所有點$P$均落在一平面$E$上,試求平面$E$的方程式。(2分)
(3) 若$\overset{\rightharpoonup}{OQ}$是長度為$2$的向量,分別與$\overset{\rightharpoonup}{OA}$、$\overset{\rightharpoonup}{OB}$之夾角皆為$60{}^\circ $,已知滿足此條件的所有點$Q$均落在一直線$L$上,試求直線$L$的方向向量。(4分)
(4) 承(3),試求出滿足條件的所有$Q$點之坐標。(4分)


類型:非選  難度:適中

答案
%%(1) 2 (2) [x+\sqrt{2}y+z=2] (3) [(0,1,-\sqrt{2})] (4) [(1,\sqrt{2},-1)]或[(1,-\frac{\sqrt{2}}{3},\frac{5}{3})]%%

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    (1) 受訪者中年齡為60歲(含)以上者超過$60%$
    (2) 由受訪者中隨機抽取兩人,此兩人的年齡皆落在$50-59$歲間的機率大於0.25
    (3) 由曾做過大腸癌篩檢的受訪者中隨機抽取兩人,其中一人在一年之內受檢而另一人在一年之前受檢的機率為$2\cdot (\frac{45}{120})(\frac{75}{119})$
    (4) 這500名名受訪者中,未曾做過大腸癌篩檢的比率低於$75%$
    (5) 受訪者中60歲(含)以上者,曾做過大腸癌篩檢的人數超過90名
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