用算幾不等式求最大最小值

令$a,b,c$為正實數且$k$為$\frac{13a+13b+2c}{2a+2b}+\frac{24a-b+13c}{2b+2c}+\frac{-a+24b+13c}{2c+2a}$的最小值
試回答下列問題:
(1)試求$k$.
(2)若最小值發生於$(a,b,c)=(a_0,b_0,c_0)$時,試求$\frac{b_0}{a_0}+\frac{c_0}{b_0}$.


類型:  難度:難

答案
$(1)19+2\sqrt{5}~~~(2)a=b=\frac{1+\sqrt{20}}{19}$

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    (1) $\sin A\lt\sin B$
    (2) $\sin B\lt\sin C$
    (3) $\cos A \lt cos B$
    (4) $\sin C \lt cos C$
    (5) $\overline{AB}\lt \overline{BC}$
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    (1) $-{{f}_{1}}(x)$除以$g(x)$的餘式為$-{{r}_{1}}(x)$
    (2) ${{f}_{1}}(x)+{{f}_{2}}(x)$除以$g(x)$的餘式為${{r}_{1}}(x)+{{r}_{2}}(x)$
    (3) ${{f}_{1}}(x){{f}_{2}}(x)$除以$g(x)$的餘式為${{r}_{1}}(x){{r}_{2}}(x)$
    (4) ${{f}_{1}}(x)$除以$-3g(x)$的餘式為$\frac{-1}{3}{{r}_{1}}(x)$
    (5) ${{f}_{1}}(x){{r}_{2}}(x)-{{f}_{2}}(x){{r}_{1}}(x)$可被$g(x)$整除
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    (1) 對所有的正整數$n$,${{a}_{n}}>3$均成立
    (2) 存在正整數$n$,使得${{a}_{n+1}}>4$
    (3) 對所有的正整數$n$,${{b}_{n}}^{2}<{{b}_{n+1}}^{2}$均成立
    (4) $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{b}_{n}}^{2}=4$
    (5) $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{b}_{n}}=2$或$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{b}_{n}}=-2$ 。
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  • #2707
    Peter SuPeter Su
    管理員

    令$a,b,c$為正實數且$k$為$\frac{13a+13b+2c}{2a+2b}+\frac{24a-b+13c}{2b+2c}+\frac{-a+24b+13c}{2c+2a}$的最小值,試回答下列問題:
    (1)試求$k$.
    (2)若最小值發生於$(a,b,c)=(a_0,b_0,c_0)$時,試求$\frac{b_0}{a_0}+\frac{c_0}{b_0}$.[See the full post at: 用算幾不等式求最大最小值]

    #2708
    Peter SuPeter Su
    管理員

    令$\begin{cases}a+b=x\\b+c=y\\c+a=z\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2a=x+z-y\\2b=x+y-z\\2c=y+z-x\end{cases}$
    原式$=\frac{1}{2}(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{5x}{y}+\frac{19z}{y}+\frac{5x}{z}+\frac{19y}{z})\\
    \ge19+2\sqrt{5}\cdots(\mathrm{by}算幾不等式)$

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