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  • 108-學測-數學-10108-學測-數學-10在$\Delta ABC$中,已知$50{}^\circ \le \angle A\lt\angle B\le 60{}^\circ $。試選出正確的選項。
    (1) $\sin A\lt\sin B$
    (2) $\sin B\lt\sin C$
    (3) $\cos A \lt cos B$
    (4) $\sin C \lt cos C$
    (5) $\overline{AB}\lt \overline{BC}$
  • 108-指考-數學甲-13108-指考-數學甲-13設$f(x)$為實係數多項式函數,且$xf(x)=3{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+\int_{1}^{x}{f(t)}\ dt$對$x\ge 1$恆成立。試回答下列問題。
    (1) 試求$f(1)$。(2分)
    (2) 試求${f}'(x)$。(4分)
    (3) 試求$f(x)$。(2分)
    (4) 試證明恰有一個大於1的正實數$a$滿足$\int_{0}^{a}{f(x)}\ dx=1$。(4分)
  • 108-指考-數學甲-02108-指考-數學甲-02設$n$為正整數。第$n$個費馬數(Fermat Number)定義為${{F}_{n}}={{2}^{({{2}^{n}})}}+1$,例如${{F}_{1}}={{2}^{({{2}^{1}})}}+1={{2}^{2}}+1=5$,${{F}_{2}}={{2}^{({{2}^{2}})}}+1={{2}^{4}}+1=17$。試問$\frac{{{F}_{13}}}{{{F}_{12}}}$的整數部分以十進位表示時,其位數最接近下列哪一個選項?($\log 2\approx 0.3010$)
    (1) 120
    (2) 240
    (3) 600
    (4) 900
    (5) 1200
  • 108-指考-數學甲-11108-指考-數學甲-11設$z$為複數。在複數平面上,一個正六邊形依順時針方向的連續三個頂點為$z$、0、$z+5-2\sqrt{3}i$(其中$i=\sqrt{-1}$),則$z$的實部為________。(化成最簡分數)
  • 108-指考-數學甲-12108-指考-數學甲-12坐標空間中以$O$表示原點,給定兩向量$\overset{\rightharpoonup}{OA}=(1,\sqrt{2},1)$、$\overset{\rightharpoonup}{OB}=(2,0,0)$。試回答下列問題。
    (1) 若$\overset{\rightharpoonup}{OP}$是長度為2的向量,且與$\overset{\rightharpoonup}{OA}$之夾角為$60{}^\circ $,試求向量$\overset{\rightharpoonup}{OA}$與$\overset{\rightharpoonup}{OP}$的內積。(2分)
    (2) 承(1),已知滿足此條件的所有點$P$均落在一平面$E$上,試求平面$E$的方程式。(2分)
    (3) 若$\overset{\rightharpoonup}{OQ}$是長度為$2$的向量,分別與$\overset{\rightharpoonup}{OA}$、$\overset{\rightharpoonup}{OB}$之夾角皆為$60{}^\circ $,已知滿足此條件的所有點$Q$均落在一直線$L$上,試求直線$L$的方向向量。(4分)
    (4) 承(3),試求出滿足條件的所有$Q$點之坐標。(4分)
  • 108-學測-數學-16108-學測-數學-16某高中已有一個長%%90%%公尺、寬%%60%%公尺的足球練習場。若想要在足球練習場的外圍鋪設內圈總長度為%%40%%%%0公%%尺的跑道,跑道規格為左右兩側各是直徑相同的半圓,而中間是上下各一條的直線跑道,直線跑道與足球練習場的長邊平行(如示意圖)。則圖中一條直線跑道$\overline{AB}$長度的最大可能整數值為_______公尺。